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'통계학'에 해당되는 글 3

  1. 2014.12.18 통계학의 기본 (1)
  2. 2014.11.12 근대 통계학의 개념과 유례
  3. 2014.11.12 평균,표준편차,분산의 개념
 

통계학의 기본

빅데이타/통계학 이론 | 2014.12.18 01:00 | Posted by 조대협

통계학의 기본


아래글은 한국 통계진흥원 손안의 통계 中 "1장 통계 개념 체크하기"를 요약 정리한 내용입니다.


기술통계(Descriptive statistics) : 기술 통계는 수집된 자료(전체이건 표본이건)의 특성을 잘 나타내어 표나, 그림, 평균과 같은 측도 값을 구하는 통계 기법이며

추측통계(Inferential statistics) : 추측 통계는 전체 모집단을 분석하지 않고, 표본을 추출 하여 표본으로 모집단의 특성을 추정하는 방법

통계학의 처음에 정치를 위해서 개발 되었다. 국가를 경영하려면 판단의 지표가 될 수 있는 각종 요약자료가 필요 했는데, 이것이 발전해서 의학,약학,여론조사,경제학,사회학,교육학등 다양한 분야에서 사용되고 있다.


통계 데이터의 정리


통계 변수

이산형 변수 (discrete variable) : /, 자동차 종류 등과 같이 연속성이 없는 변수

연속형 변수 (continuous variable) : , 몸무게등 실수와 같이 쪼게면 쪼겔수록 무한히 쪼게지는 연속된 변수


도수분포표와 히스토그램

히스토 그램 : 연속형 변수는 히스토그램을 이용하여 표현이 가능하다. 히스토그램이란, 연속된 변수의 X축을 일정 구간으로 나눠서, (5) 그 구간에 들어가는 데이터를 표현하는 방법으로, 키를 예를 들면 160~170,170~180에 각각 몇 명이 있는지 그래프로 나타내면 히스토 그램이라고 한다.



도수분포표 (frequency table) : 빈도수 분포표라고도 하는데, 연속형 변수의 경우 히스토그램 처럼 구간을 나눠서 그래프가 아니라 테이블로 표현한 거나, 이산형 변수의 경우 각 변수의 값을 테이블로 표현한 것을  도수 분포표 라고 한다.


연속 변수의 정리

연속형 데이터는 통계량을 요약하는데, 주로 데이터를 표현하는데 다음과 같은 값들을 사용한다.


중심위치의 측도

데이터의 중심 위치를 표현하는 값으로, 평균뿐 아니라 다양한 척도를 사용할 수 있다.

Ÿ  *  평균 : 전체 데이터의 합을 개수로 나눈 값

Ÿ  * 중심값 : 전체 데이터가 n개가 있고순차적으로 배열 하였을 때, n/2 번째 위치 하는 값

Ÿ  * 최빈값 : 데이터의 발생 빈도가 가장 많은 값



산포와 측도

산포는 데이터가 흩어진 정도를 나타내는 것인데, 분산, 표준편차, 범위, 사분위수범위등이 사용된다.

분산,표준편차,범위등은 흔히 사용하는 개념이기 때문에 넘어가고, 사분위수범위를(interquartile range. 일반적으로 IQR이라고 표시)에 대해서 알아보자

먼저 백분위수 (percentile)의 개념을 알아야 하는데, 데이터를 작은 것부터 큰 순서대로 쭈욱 놓았을대, 대략 p% 번째 데이터를 백분위수라고 한다.

이때 25% 백분위수를 일사분위수(Q1), 50% 백분위수를 이사분위수(Q2), 75% 백분위수를 삼사분위수(Q3) 라고 하고, “사분위범위수는삼사분위수에서 일사분위수를 뺀 값이다.

IQR = Q3-Q1. (75% 범위값에서, 25% 범위값을 뺀 범위) 이 된다.

이런 사분위수를 사용할 때, 쉽게 표현할 수 있는 그래프가 상자그림 (box-whisker plot)인데,



상자 그림은,

Ÿ   좌측 경계를 Q1 – 1.5*IQR

Ÿ   우측 경계를 Q3 + 1.5*IQR (위의 그림이 잘못됨. Q3-가 아니라 Q3+)로 하고

Ÿ   Q1,Q3구간을 상자로 표시한다. 그리고 중앙값 m을 상자안에 표시한다.

Ÿ   이러한 상자그림을 이용하면, 데이터 분포의 대칭성, 데이터의 중심 위치, 산포의 정도,극단점등을 잘 알아볼 수 있다.


왜도와 첨도

왜도(skewness) 데이터의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 대칭형이냐를 나태내는 것이 왜도

첨도(kurtosis) 는 정규분포 대비 데이터 분포도가 얼마나 뾰족한지를 나타내는 측도. 정규 분포의 첨도는 0이고, 정규분포보다 더 뾰적하면 첨도는 양수, 더 납작하면 음수를 갖는다.


두개 이상의 연속 변수 정리

두개 이상의 연속 변수가 있을 때두 변수가 상관 관계가 있는지를 분석하는 것을 두개 이상의 연속 변수 정리라고 하는데, 예를 들어, 자동차의 속도와 정지 거리간의 상관 관계를 분석하는 것들이 그 예에 속한다.


공분산(Covariance), 상관 계수

연속 변수의 상관 관계를 분석하는 방법으로는 여러가지가 있지만, 공분산과 상관 계수라는 것이 있다.

공분산은



으로 표현되는데, x,y 두개 연속 변수에 대해서, x의 각 값에 x의 평균을 뺀값과, y의 각 값에서 y의 평균을 뺀값을 더하여, 평균을 낸 값으로,

http://blog.naver.com/ikek21?Redirect=Log&logNo=220003173213

글에서 쉽게 개념을 설명하고 있는데, 인용 해보자면 다음과 같다.



와 같이 영어,국어 점수간의 상관 관계를 표현할 때.

이를 그래프로 표현하면



로 표현이 된다. 공분산은 이 칠해진 부분 즉 면적의 합을 항목의 수로 나눈 값이다.(이를 내적의 성질이라고 한다. 벡터를 이용할 경우 벡터의 내적을 의미하게 된다.)

17/4 4.25의 공분산을 가진다. 이 공분산의 값으로 추정할 수 있는 것은 국어 성적이 증가 함에 따라 영어 점수도 같이 증가한다는 상관 관계를 표현한다.

공분산이 양이면, 두 상관 계수간에, 한 변수가 증가하면 다른 변수도 비례적으로 증가한다는 관계를, 만약에 음수로 내려가면, 반비례 관계가 되는 것을 표현한다.

이 공분산으로 알수 있는 것은, 국어 점수와 영어 점수에 상관 관계가 있고, 국어 점수가 증가함에 따라 영어 점수가 증가한다 (또는 감소한다) 정도만 알수가 있을뿐, 국어점수와 영어점수와의 관계의 정도는 표현이 되지 않는다. 이를 표현하는 방식이 상관 계수라는 것이다.

상관 계수는 이런 점을 보안하여, 두 변수간의 상관성이 얼마나 강한지를 나타낸다.

공식은 복잡하기 때문에 생략하고, 상관 계수 p -1~1의 값을 갖는데,0에 가까울 수 록 상관성이 없고, 1에 가까울수록 양의 비례관계까 강하고, -1에 가까울수록 반비례가 강한 특성을 나타낸다.


공분산 행렬과 상관 계수 행렬

공분산과 상관계수가 두개의 변수간의 상관 관계를 알아보는 것이라면공분산 행렬과, 상관 계수 행렬은 변수가n개 있을 때, 이 모든 변수 n개간의 상관 관계를 공분산과, 상관 계수로 표현한 행렬이다.


정규 분포의 특성

많은 자연 현상이나 사회학적인 데이터의 확률 분포는 종모양의 정규분포라는 것을 따른다.

이 정규 분포는 드므라는 사람에 의해서 처음 발견 되었고, 나중에 수학자 가우스에 의해서 폭넓게 응용되었다.

정규 분포 함수는 다음과 같다.



정규분포 함수를 그림으로 표현하면 다음과 같은 모양이 된다.



정규 분포의 특성은 다음과 같다.

1)  종모양의 연속함수이다.

2)  평균을 중심으로 좌우 대칭이다. 따라서 평균을 중심으로 좌측과 우측의 확률은 각각 0.5이다.

3)  평균이나 표준편차에 따라 정규분포는 무한히 많을 수 있다.

4)  [중요] x축에 대해서,
값이 [평균-표준편차~평균+표준편차]에 속할 확률은 0.68
값이 [평균-2*표준편차~평균+2*표준편차]에 속할 확률은 0.95
값이 [평균-3*표준편차~평균+3*표준편차]에 속할 확률은 0.997
이 된다. 즉 정규분포에서 확률변수는 평균 주위에 대부분의 값을 가지며, 평균에서 좌우로 표준편차의 3배 이상 떨어진 값은 거의 없다.

5)  표준편차가 1이고, 평균이 0인 정규 분포를 표준 정규분포라고 한다.
표준 정규 분포는 다음과 같은 성질을 따르는데,


95%
구간내에 들어가는 값은 +-1.645 구간내에, 97.5% +-1.96 구간내에, 99.5% +-2.575 구간내에 속한다

.

표본 분포와 추정

현대 통계학에서 추론 통계학은 실제 모든 데이터를 측정하지 않고, 모집단에서 일부 표본만을 추출하여, 전체 모집단의 특성을 추론하는 방식으로, 모집단에서 추출한 샘플을 표본이라고 한다.

이 표본에 의해 이루어진 통계 분포를 표집 분포 (Sampling distribution)이라고 한다.


중심 극한 정리 (CLT : Central Limit Theorem)

모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 표본의 크기가 충분이 클 때 (보통 30이상) 여러 번 표본을 추출하여 표본 평균을 추출해보면, 이 표본 평균들은 정규분포를 따르며 모집단의 평균에 근접한다.

예를 들어 모집단에 1000개의 데이터가 있을 때, 30개씩 표본을 뽑아서 표본 평균을 구하는 실험을 100번했다면, 표본 평균들은 정규 분포를 따르며, 이 표본 평균의 평균은 모집단의 평균에 근접하게 된다.


모평균의 추정

표본을 이용해서 모평균을 추정(estimation)하는 방법에 대해서 알아보자


점추정 (Point estimation)

표본을 여러 번 추출하지 않고, 하나의 표본을 추출해서 모집단의 평균을 추정할 수 있을까?

중심극한정리에서 봤듯이, 모집단이 어떤 분포를 따르건간에, 표본 평균들은 모평균을 중심으로 정규분포를 따른다. 표본의 크기가 충분히 클 수 록, 표본 평균은 모평균에 수렴하기 때문에, 이렇게 하나의 표본에서 관측된 표본 평균으로 모평균을 추정하는 것을 점 추정이라고 한다.


구간 추정 (Interval estimation)

점 추정 이외에, 구간 추정이라는 것이 있는데, 모집단이 정규분포를 따르고 모분산을 아는경우 (평균은 모르지만). 95% 확률로 표본평균이 모평균을 따를 확률은 표준 정규분포에서 95% 구간에 들어가는 값은 +-1.96 구간이기 때문에, 모집단이 정규분포일때는

모집단의 평균은 [ 표본평균 -1.96*(모분산/sqrt(n)), 표본평균 +1.96*(모분산/sqrt(n))] 구간에 95% 확률로 속한다.
n
은 표본의 크기, 모분산/sqrt(n)는 표본집단의 표준 편차. (중심극한정리에 의함)

※ 근데, 모집단의 평균을 모르면서 분산을 어떻게 구하지?


T 분포 (T dribution)

그런데, 구간 추정 방식은 모집단이 정규분포를 따르고 모분산을 아는 경우에만 사용이 가능하다. 그러면 만약 모집단이 정규분포를 따르지 않고 모 분산을 모르는 경우에는?

아일랜드의 양조 업체에서 일하던 W.S.Gosset이라는 수학자가 T 분포라는 것을 발표하였는데, 회사에 속해 있어서 실명을 사용할 수 없에서 Student라는 가명으로 발표하여 T 분포라고 이름지어졌다.

T 분포의 특징은 정규분포 처럼 양쪽이 종모양으로 대칭인 모양을 가지고 있지만, 정규분포에 비해서 높이가 낮고,양쪽 꼬리가 좀더 높게 평평하고 긴 모양을 가지고 있다.



<그림. 정규분포와 T 분포 비교. 출처 http://math7.tistory.com/55 >

만약에 표본의 크기가 크다면, 표본의 표준편차를 이용하여, 모평균의 신뢰 구간을 구할 수 있는데, 이때 T 분포를 사용한다.

T 분포는 표본의 크기에 따라 각각의 분포를 갖는다. 표본이 1 T분포, 표본이 2 T분포

보통 이 표본의 크기를 자유도라고 하고, 이 자유도가 30이 넘으면 대게 정규분포와 유사해진다.

그래서, T 분포를 이용하여, 모평균을 추정하면

T 분포는 t(n,a)로 표현하면

n은 자유도 즉 표본의 크기

a는 신뢰도로 그래프에서 왼쪽에서부터 누적확률이 a가 되는 점을 뜻한다. 예를 들어 a 0.05 이면, 양쪽 구간을 구하면 1-a 구간의 신뢰 즉 1-0.05=0.95 (95%) 신뢰구간 구할 수 있다.

표준 정규분포에서는 이 값이 -1.645 였는데, T 분포에서 자유도가 7일 때 이 값은 -1.895가 된다.

그래서 T 분포를 이용한 모평균의 추정 구간은

[ 표본평균 – t(n-1, (1-a/2)*(표본분산/sqrt(n) ), 표본평균 + t(n-1, (1-a/2)*(표본분산/sqrt(n) ) ]

가 된다.


다음번에는 통계 가설의 검정에 대해서 알아보기로 한다.

근대 통계학의 개념과 유례

빅데이타/통계학 이론 | 2014.11.12 22:21 | Posted by 조대협

근대 통계학의 개념과 유례


통계학이란,(네이버 지식 백과 참고)-기술통계학과, 추론 통계학

통계학(統計學, statistics)은 주어진 자료에서 합계나 평균과 같이 필요한 정보를 계산하는 등 자료를 수집·정리·요약하는 기술통계학(記述統計學, descriptive statistics)표본(자료)에서 얻은 정보를 이용하여 모집단(자료를 뽑은 대상 전체)에 대한 정보를 예측하고 불확실한 사실에 대한 결론을 이끌어 내는 데 필요한 이론과 방법을 제시하는 추론통계학(推論統計學 , inferential statistics)으로 구성되어 있다.


통계학은 표본 그 자체보다는 모집단에 관심을 가지고 일부분으로 전체에 대한 정보를 알아내려고 하는 것이며 이러한 것을 통계적 추론(statistical inference)이라 한다. 부분으로 전체에 대한 정보를 구하다 보니 오차가 나타나며 이러한 오차를 줄이고 또한 오차의 크기를 계산하여 정보 이용자에게 제공하는 것이 통계학의 목적이라고 할 수 있다.


통계학은 응용수학(應用數學, applied mathematics)의 한 분야로써 관찰 및 조사를 통해 얻을 수 있는 불균형적인 데이터로부터 응용수학의 기법을 이용하여 데이터의 성질, 규칙성 또는 불규칙성을 찾아낸다.


근대 통계학의 아버지 케틀레

근대 통계학은 19세기에 벨기에 천문학자 케틀레 아돌프 자크 케틀레 (Lambert Adolphe Jacque Quetelet) 에 의해서 정립 되었는데,

케틀레17세부터 아이들에게 수학을 가르키고, 23세에 박사 학위를 받았다. (아마 천재인듯)



17~18세기에는 천문학이 발전하는 시기였고, 이때문에, 천체의 움직임을 정확하게 측정하기 위해서 물리학이 함께 발전했던 시기 였다. 이때 천문학자들이 동일한 측량에도 불구하고 오차가 발생하는 것을 줄이기 위해서 통계학의 개념이 발전하게 되었다.

이 시기에 케틀레는 천문학을 공부하면서 자연스럽게 통계학을 배우게 되고, 이런 자연 통계학의 개념을 사회 통계학의 개념에 적용 시켰는데, 


자연통계학에서 근대 통계학으로의 발전

"1835년에 케틀레는 《인간과 능력 개발에 대하여 Sur l’homme et le developpement de ses faculte s, ou essai de physique sociale》을 발표하게 됩니다. 이는 인구통계와 범죄통계를 연구하여 구현상 이외의 도덕현상이나 범죄현상 같은 무질서해 보이는 사회현상에 있어서도 일종의 규칙성이 존재한다는 것을 증명한 연구였습니다. 케틀레는 월별ㆍ지역별ㆍ기온별ㆍ시간별 출생률과 연령ㆍ직업ㆍ지역ㆍ계절과 장소에 따른 사망률을 조사하며 신장과 체중ㆍ성장률ㆍ음주와 정신병력 여부, 자살ㆍ범죄 등도 변수에 넣어 계산한 끝에, 어떤 사회에서의 출생률과 사망률, 자살자의 수 등이 매년 거의 일정하다는 사실을 발견하였습니다. 그리고 인간특질측정이 정규분포 확률곡선에 따라 그 값 주위로 나타나는 중간 값을 기준으로 '보통사람'의 개념을 나타내어 평균인의 개념을 도입하였습니다. 케틀레의 이 연구를 기점으로 범죄 같은 자발적 행위가 모순 없이 수로 표시되는 그의 연구로 '도덕통계학'의 광범위한 연구와 자유의지설 대 사회결정론의 폭넓은 토론이 발전되었습니다."

즉 랑베르에 의해서, 자연 통계학이 사회 현상에도 적용 가능하다는 사실을 밝히면서 기존의 자료나 사실을 근거로 하여 자료에서 의미를 찾아내는 통계에서, 불확실성을 기반으로 미래를 예측하거나 표본 집단을 통해서 전체를 예측하는, 예측 기반의 근대 통계학이 성립되어 간것이다.



참고

- http://hikostat.kr/1986

- http://terms.naver.com/print.nhn?docId=2164900&cid=44413&categoryId=44413

평균,표준편차,분산의 개념

빅데이타/통계학 이론 | 2014.11.12 01:18 | Posted by 조대협

표준 편차의 개념


쉽게 말하면 평균(mean) 에 대한 오차이이다. 즉 , 실제 데이타 값이 평균을 기준으로 할때 얼마나 들쭉 날쭉하냐를 나타내는 것이다. 평균이 m이고, 표준편차가 3이라고 할때, 실제 값은 m+-3 값이라는 것이다.


먼저 편차랑, 원래의 값에서 평균을 뺀 값인데, 편차는 +도 될 수 있고, -도 될 수 있다.

그러면 우리가 구하고자 하는 표준편차라는 것은 평균 값이 실제 값에서 부터 얼마나의 오류가 있느냐 인데

예를 들어 4개의 데이타가 있을 때 평균을 m이라고 가정하고, 각 값이 m+1,m-2,m+3,m-4 라고 할때

편차의 합은 실제로 1+2+3+4=10 이 되야 하지만, 실제 값이 -2,-4 가 있기 때문에, (값-m)을 합한 값으로 계산해보면 1-2+3-4로 전혀 엉뚱한 값이 나온다.

그래서 이 음수를 양수화해야 하는데, 그러한 방법중의 하나가 제곱이다.

편차들을 합하기전에 제곱을 해서 합하면 1+4+9+16이된다. 이것이 바로 분산(Variance)으로 "편차의 제곱의 합"이다.


그렇다면 분산(Variance)을 바로 쓰지 않고, 표준편차를 구하는 이유는? 

분산은 편차에 제곱을 하여 계산을 하였기 때문에, 실제  값에서 너무 멀어져 있다. 그래서 실제 값으로 근접 시키기 위해서 제곱근(루트)를 씌워준 것이다. (분산에서 제곱했으니, 반대로 제곱근을 씌운다.)

즉 분산에 루트를 씌운것이 표준 편차(Standard deviation) 이며, 이 표준편차는 평균으로 부터 원래 데이타에 대한 오차범위의 근사값이다. (원래 데이타로 부터의 오차의 범위는 편차의 절대값들에 대한 평균값으로 절대편차라고 하며 Absolute deviation, 표준 편차와 값이 다소 다르지만, 평균값으로 부터의 얼마나 오차가 있는지를 표현한다는 의미에서는 같다. 그러면 왜 절대편차를 사용하지 않고 표준 편차를 사용하는가는 다른 글에서 다루도록 한다. 결론만 말하자면, 제곱을 한 표준편차가 모델링과 각종 통계 수식을 응용하기에 용이하다)


여기서 평균,분산,표준편차의 개념에서 모집단과 표본의 개념을 짚고 넘어갈 필요가 있다.


통계학이란 굳이 다 조사하지 않더라도, 대충의 결과를 알 수 있다. 일종의 prediction 의 개념이다.

조사대상인 모집단(population) 전체를 조사하는 경우를 전수조사라고 한다.

모집단이 커서 전수조사가 어려운 경우, 집단의 특성을 추정하기 위해서 일부 표본(sample)만 추출하여 하는 조사를 표본조사라고 한다. 이렇게 표본을 조사함으로써, 원래 모집단의 특성을 추측하는 것을 추정이라고 한다. (근대 통계학의 추론통계학 - inferential statistics의 개념 )


※ 표본을 추출하는데도 여러가지 방법이 있다

 단순임의추출(simple random sampling) : 항아리에 공을 넣고, 아무 공이나 꺼낸다.

- 복원 추출(sampling with replacement) : 항아리에서 공을 꺼낸 후, 꺼낸 공을 다시 넣고 공을 꺼낸다.

- 비복원 추출(sampling without replacement) : 항아리에서 공을 꺼낸 후 다시 넣지 않고 다른 공을 꺼낸다.


그외에도 층화 임의 추출(Stratified random sampling),포아송 추출 ,계통 추출(Systematic sampling)

표본 추출 방법에 대해서는 나중에 다시 다룬다.


※ 이 개념을 보니, 선형회귀에서 Gradient decent는 표본 추출을 통해서, 최 근접 모델을 찾는 방법이다.


이렇게 평균,표준편차,분산에 대해서 이것이 모집단에 대한 값이냐 표본에 대한 값이냐를 구별하기 위해서 기호를 분리 따로 사용하는데


표본 평균은 사실 고정값이 아니라, 표본의 크기에 따라 변화는 일종의 확률변수이다.

이 표본평균의 확률변수의 개념과, 표본 추출 방식 그리고, 분포에 대해서 다음에 또 정리하기로 한다.


참고 자료 : 


- http://m.blog.naver.com/dalsapcho/20147545698
- http://www.youtube.com/watch?v=b3O-dUlyl54
- http://math7.tistory.com/14

분산과 표준편차를 확률변수의 개념으로 설명한 내용 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%EC%82%B0