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'정규분포'에 해당되는 글 2

  1. 2014.12.18 통계학의 기본 (1)
  2. 2014.12.02 확률 분포에 대해서
 

통계학의 기본

빅데이타/통계학 이론 | 2014.12.18 01:00 | Posted by 조대협

통계학의 기본


아래글은 한국 통계진흥원 손안의 통계 中 "1장 통계 개념 체크하기"를 요약 정리한 내용입니다.


기술통계(Descriptive statistics) : 기술 통계는 수집된 자료(전체이건 표본이건)의 특성을 잘 나타내어 표나, 그림, 평균과 같은 측도 값을 구하는 통계 기법이며

추측통계(Inferential statistics) : 추측 통계는 전체 모집단을 분석하지 않고, 표본을 추출 하여 표본으로 모집단의 특성을 추정하는 방법

통계학의 처음에 정치를 위해서 개발 되었다. 국가를 경영하려면 판단의 지표가 될 수 있는 각종 요약자료가 필요 했는데, 이것이 발전해서 의학,약학,여론조사,경제학,사회학,교육학등 다양한 분야에서 사용되고 있다.


통계 데이터의 정리


통계 변수

이산형 변수 (discrete variable) : /, 자동차 종류 등과 같이 연속성이 없는 변수

연속형 변수 (continuous variable) : , 몸무게등 실수와 같이 쪼게면 쪼겔수록 무한히 쪼게지는 연속된 변수


도수분포표와 히스토그램

히스토 그램 : 연속형 변수는 히스토그램을 이용하여 표현이 가능하다. 히스토그램이란, 연속된 변수의 X축을 일정 구간으로 나눠서, (5) 그 구간에 들어가는 데이터를 표현하는 방법으로, 키를 예를 들면 160~170,170~180에 각각 몇 명이 있는지 그래프로 나타내면 히스토 그램이라고 한다.



도수분포표 (frequency table) : 빈도수 분포표라고도 하는데, 연속형 변수의 경우 히스토그램 처럼 구간을 나눠서 그래프가 아니라 테이블로 표현한 거나, 이산형 변수의 경우 각 변수의 값을 테이블로 표현한 것을  도수 분포표 라고 한다.


연속 변수의 정리

연속형 데이터는 통계량을 요약하는데, 주로 데이터를 표현하는데 다음과 같은 값들을 사용한다.


중심위치의 측도

데이터의 중심 위치를 표현하는 값으로, 평균뿐 아니라 다양한 척도를 사용할 수 있다.

Ÿ  *  평균 : 전체 데이터의 합을 개수로 나눈 값

Ÿ  * 중심값 : 전체 데이터가 n개가 있고순차적으로 배열 하였을 때, n/2 번째 위치 하는 값

Ÿ  * 최빈값 : 데이터의 발생 빈도가 가장 많은 값



산포와 측도

산포는 데이터가 흩어진 정도를 나타내는 것인데, 분산, 표준편차, 범위, 사분위수범위등이 사용된다.

분산,표준편차,범위등은 흔히 사용하는 개념이기 때문에 넘어가고, 사분위수범위를(interquartile range. 일반적으로 IQR이라고 표시)에 대해서 알아보자

먼저 백분위수 (percentile)의 개념을 알아야 하는데, 데이터를 작은 것부터 큰 순서대로 쭈욱 놓았을대, 대략 p% 번째 데이터를 백분위수라고 한다.

이때 25% 백분위수를 일사분위수(Q1), 50% 백분위수를 이사분위수(Q2), 75% 백분위수를 삼사분위수(Q3) 라고 하고, “사분위범위수는삼사분위수에서 일사분위수를 뺀 값이다.

IQR = Q3-Q1. (75% 범위값에서, 25% 범위값을 뺀 범위) 이 된다.

이런 사분위수를 사용할 때, 쉽게 표현할 수 있는 그래프가 상자그림 (box-whisker plot)인데,



상자 그림은,

Ÿ   좌측 경계를 Q1 – 1.5*IQR

Ÿ   우측 경계를 Q3 + 1.5*IQR (위의 그림이 잘못됨. Q3-가 아니라 Q3+)로 하고

Ÿ   Q1,Q3구간을 상자로 표시한다. 그리고 중앙값 m을 상자안에 표시한다.

Ÿ   이러한 상자그림을 이용하면, 데이터 분포의 대칭성, 데이터의 중심 위치, 산포의 정도,극단점등을 잘 알아볼 수 있다.


왜도와 첨도

왜도(skewness) 데이터의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 대칭형이냐를 나태내는 것이 왜도

첨도(kurtosis) 는 정규분포 대비 데이터 분포도가 얼마나 뾰족한지를 나타내는 측도. 정규 분포의 첨도는 0이고, 정규분포보다 더 뾰적하면 첨도는 양수, 더 납작하면 음수를 갖는다.


두개 이상의 연속 변수 정리

두개 이상의 연속 변수가 있을 때두 변수가 상관 관계가 있는지를 분석하는 것을 두개 이상의 연속 변수 정리라고 하는데, 예를 들어, 자동차의 속도와 정지 거리간의 상관 관계를 분석하는 것들이 그 예에 속한다.


공분산(Covariance), 상관 계수

연속 변수의 상관 관계를 분석하는 방법으로는 여러가지가 있지만, 공분산과 상관 계수라는 것이 있다.

공분산은



으로 표현되는데, x,y 두개 연속 변수에 대해서, x의 각 값에 x의 평균을 뺀값과, y의 각 값에서 y의 평균을 뺀값을 더하여, 평균을 낸 값으로,

http://blog.naver.com/ikek21?Redirect=Log&logNo=220003173213

글에서 쉽게 개념을 설명하고 있는데, 인용 해보자면 다음과 같다.



와 같이 영어,국어 점수간의 상관 관계를 표현할 때.

이를 그래프로 표현하면



로 표현이 된다. 공분산은 이 칠해진 부분 즉 면적의 합을 항목의 수로 나눈 값이다.(이를 내적의 성질이라고 한다. 벡터를 이용할 경우 벡터의 내적을 의미하게 된다.)

17/4 4.25의 공분산을 가진다. 이 공분산의 값으로 추정할 수 있는 것은 국어 성적이 증가 함에 따라 영어 점수도 같이 증가한다는 상관 관계를 표현한다.

공분산이 양이면, 두 상관 계수간에, 한 변수가 증가하면 다른 변수도 비례적으로 증가한다는 관계를, 만약에 음수로 내려가면, 반비례 관계가 되는 것을 표현한다.

이 공분산으로 알수 있는 것은, 국어 점수와 영어 점수에 상관 관계가 있고, 국어 점수가 증가함에 따라 영어 점수가 증가한다 (또는 감소한다) 정도만 알수가 있을뿐, 국어점수와 영어점수와의 관계의 정도는 표현이 되지 않는다. 이를 표현하는 방식이 상관 계수라는 것이다.

상관 계수는 이런 점을 보안하여, 두 변수간의 상관성이 얼마나 강한지를 나타낸다.

공식은 복잡하기 때문에 생략하고, 상관 계수 p -1~1의 값을 갖는데,0에 가까울 수 록 상관성이 없고, 1에 가까울수록 양의 비례관계까 강하고, -1에 가까울수록 반비례가 강한 특성을 나타낸다.


공분산 행렬과 상관 계수 행렬

공분산과 상관계수가 두개의 변수간의 상관 관계를 알아보는 것이라면공분산 행렬과, 상관 계수 행렬은 변수가n개 있을 때, 이 모든 변수 n개간의 상관 관계를 공분산과, 상관 계수로 표현한 행렬이다.


정규 분포의 특성

많은 자연 현상이나 사회학적인 데이터의 확률 분포는 종모양의 정규분포라는 것을 따른다.

이 정규 분포는 드므라는 사람에 의해서 처음 발견 되었고, 나중에 수학자 가우스에 의해서 폭넓게 응용되었다.

정규 분포 함수는 다음과 같다.



정규분포 함수를 그림으로 표현하면 다음과 같은 모양이 된다.



정규 분포의 특성은 다음과 같다.

1)  종모양의 연속함수이다.

2)  평균을 중심으로 좌우 대칭이다. 따라서 평균을 중심으로 좌측과 우측의 확률은 각각 0.5이다.

3)  평균이나 표준편차에 따라 정규분포는 무한히 많을 수 있다.

4)  [중요] x축에 대해서,
값이 [평균-표준편차~평균+표준편차]에 속할 확률은 0.68
값이 [평균-2*표준편차~평균+2*표준편차]에 속할 확률은 0.95
값이 [평균-3*표준편차~평균+3*표준편차]에 속할 확률은 0.997
이 된다. 즉 정규분포에서 확률변수는 평균 주위에 대부분의 값을 가지며, 평균에서 좌우로 표준편차의 3배 이상 떨어진 값은 거의 없다.

5)  표준편차가 1이고, 평균이 0인 정규 분포를 표준 정규분포라고 한다.
표준 정규 분포는 다음과 같은 성질을 따르는데,


95%
구간내에 들어가는 값은 +-1.645 구간내에, 97.5% +-1.96 구간내에, 99.5% +-2.575 구간내에 속한다

.

표본 분포와 추정

현대 통계학에서 추론 통계학은 실제 모든 데이터를 측정하지 않고, 모집단에서 일부 표본만을 추출하여, 전체 모집단의 특성을 추론하는 방식으로, 모집단에서 추출한 샘플을 표본이라고 한다.

이 표본에 의해 이루어진 통계 분포를 표집 분포 (Sampling distribution)이라고 한다.


중심 극한 정리 (CLT : Central Limit Theorem)

모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 표본의 크기가 충분이 클 때 (보통 30이상) 여러 번 표본을 추출하여 표본 평균을 추출해보면, 이 표본 평균들은 정규분포를 따르며 모집단의 평균에 근접한다.

예를 들어 모집단에 1000개의 데이터가 있을 때, 30개씩 표본을 뽑아서 표본 평균을 구하는 실험을 100번했다면, 표본 평균들은 정규 분포를 따르며, 이 표본 평균의 평균은 모집단의 평균에 근접하게 된다.


모평균의 추정

표본을 이용해서 모평균을 추정(estimation)하는 방법에 대해서 알아보자


점추정 (Point estimation)

표본을 여러 번 추출하지 않고, 하나의 표본을 추출해서 모집단의 평균을 추정할 수 있을까?

중심극한정리에서 봤듯이, 모집단이 어떤 분포를 따르건간에, 표본 평균들은 모평균을 중심으로 정규분포를 따른다. 표본의 크기가 충분히 클 수 록, 표본 평균은 모평균에 수렴하기 때문에, 이렇게 하나의 표본에서 관측된 표본 평균으로 모평균을 추정하는 것을 점 추정이라고 한다.


구간 추정 (Interval estimation)

점 추정 이외에, 구간 추정이라는 것이 있는데, 모집단이 정규분포를 따르고 모분산을 아는경우 (평균은 모르지만). 95% 확률로 표본평균이 모평균을 따를 확률은 표준 정규분포에서 95% 구간에 들어가는 값은 +-1.96 구간이기 때문에, 모집단이 정규분포일때는

모집단의 평균은 [ 표본평균 -1.96*(모분산/sqrt(n)), 표본평균 +1.96*(모분산/sqrt(n))] 구간에 95% 확률로 속한다.
n
은 표본의 크기, 모분산/sqrt(n)는 표본집단의 표준 편차. (중심극한정리에 의함)

※ 근데, 모집단의 평균을 모르면서 분산을 어떻게 구하지?


T 분포 (T dribution)

그런데, 구간 추정 방식은 모집단이 정규분포를 따르고 모분산을 아는 경우에만 사용이 가능하다. 그러면 만약 모집단이 정규분포를 따르지 않고 모 분산을 모르는 경우에는?

아일랜드의 양조 업체에서 일하던 W.S.Gosset이라는 수학자가 T 분포라는 것을 발표하였는데, 회사에 속해 있어서 실명을 사용할 수 없에서 Student라는 가명으로 발표하여 T 분포라고 이름지어졌다.

T 분포의 특징은 정규분포 처럼 양쪽이 종모양으로 대칭인 모양을 가지고 있지만, 정규분포에 비해서 높이가 낮고,양쪽 꼬리가 좀더 높게 평평하고 긴 모양을 가지고 있다.



<그림. 정규분포와 T 분포 비교. 출처 http://math7.tistory.com/55 >

만약에 표본의 크기가 크다면, 표본의 표준편차를 이용하여, 모평균의 신뢰 구간을 구할 수 있는데, 이때 T 분포를 사용한다.

T 분포는 표본의 크기에 따라 각각의 분포를 갖는다. 표본이 1 T분포, 표본이 2 T분포

보통 이 표본의 크기를 자유도라고 하고, 이 자유도가 30이 넘으면 대게 정규분포와 유사해진다.

그래서, T 분포를 이용하여, 모평균을 추정하면

T 분포는 t(n,a)로 표현하면

n은 자유도 즉 표본의 크기

a는 신뢰도로 그래프에서 왼쪽에서부터 누적확률이 a가 되는 점을 뜻한다. 예를 들어 a 0.05 이면, 양쪽 구간을 구하면 1-a 구간의 신뢰 즉 1-0.05=0.95 (95%) 신뢰구간 구할 수 있다.

표준 정규분포에서는 이 값이 -1.645 였는데, T 분포에서 자유도가 7일 때 이 값은 -1.895가 된다.

그래서 T 분포를 이용한 모평균의 추정 구간은

[ 표본평균 – t(n-1, (1-a/2)*(표본분산/sqrt(n) ), 표본평균 + t(n-1, (1-a/2)*(표본분산/sqrt(n) ) ]

가 된다.


다음번에는 통계 가설의 검정에 대해서 알아보기로 한다.

확률 분포에 대해서

빅데이타/통계학 이론 | 2014.12.02 00:11 | Posted by 조대협

확률분포

조대협 http://bcho.tistory.com


확률분포의 정의

확률변수 x가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미한다.

예를 들어서 두 개의 주사위를 던졌을때, 나오는 눈의 합이 x가 될 확률을 정의하는 것이 확률 분포이다. (2가 될 확률 2%,3이 될 확률 4%....)

확률 분포의 종류 관련 용어

확률 변수

먼저 확률 변수에 대해서 정의할 필요가 있는데, 확률변수가 주사위의 숫자와 같이 이산값(유한한 값)을 취할때, 이를 이산확률 변수라고 하고, 키나 몸무게처럼 실수로 연속된 무한한 값을 취할때 이를 연속 확률변수라고 한다.


확률 밀도 함수 (probability density function aka. pdf)와 확률 누적 함수

연속 확률 변수에서, 확률 변수의 분포를 나타내는 함수이다

그 함수를 특정 구간에 대해서 적분한 값이  (즉 그 구간에 그래프의 면적) 확률 변수값을 확률 누적 분포라고 하고 F(x) (대문자 F를 사용 한다.) 

예를 들어, 대한민국 고교생의 몸무게를 나타내면, 이는 연속 확률 변수로 표현할 수 있고, 확률 변수 f(몸무게)가 있다고 할때, 45kg~60kg의 확률을 구하면, f(x)에서 x=45~60 구간간의 적분 값이 된다.

확률 변수 x가 발생할 확률을 P(x)라고 하면, P(x)는 0~1 사이의 실수이며 (0<=P(x)<=1) P(x)의 총합은 1이 된다.

개념 참고 : 적분이랑 그래프의 특정 구간의 면적을 구하는 것으로, 아래 그림과 같이 a,b 구간의 면적을 구하려면, 작은 사각기둥으로 a,b 구간을 나눈후에, 각 구간의 사각형의 면적을 합한 값으로 보면 된다. 예를 들어 a=50,b=100이라고 가정할때, 구간을 5라고 하면, 첫번째 사각형의 가로는 5,높이는 f(50)가되고, 두번째 사각형은 가로는 5,높이는 f(55)가된다. 이 구간을 무한히 작은 값으로 했을때, 이 사각형들은 그래프와 서로 틈이 없이 조밀하게 되고, 이 그래프의 구간이 나타내는 면적이 되게 된다. 

 


출처 : http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2073809&cid=47324&categoryId=47324#TABLE_OF_CONTENT3


확률 질량 함수 (probability mass function aka. pmf)

이산 확률 변수에서 특정값에 대한 확률을 나타내는 함수 이다. 즉 특정 확률 변수x에서 사건이 발생할 확률 f(x)을 정의한다.

예를 들어 주사위를 한번 굴릴때 값을나태내는 확률변수 X일때, 이 확률변수에 대응되는 확률 질량 함수 f(x) = 1/6 이다.

 


확률 분포

확률 분포는 그 성질에 따라 이산 확률 분포와 연속 확률 분포


이산 확률 분포

1. 베르누이 분포

가장 기본적인 이산 확률 분포로, 실행의 결과가 성공과 실패가 나오는 경우 (불량,합격)의 이항 분포이다.

예) 1~10까지 쓰여 있는 카드 중 하나를 뽑았을때, 8이 적힌 카드가 나올 확률 

  • x : 0,1
  • P : 성공확률 

위의 문제에서, 성공확률은 1/10이고, 실패확률은 9/10이다. 그리고 x가 성공인 1이기 때문에, 0.1^1*0.9^0 = 0.1*1 =0.1 이 된다.


2. 이항 분포 (binominal distribution)

결과가 성공과 실패 두가지 인 경우에, 단 하나의 실험이 아니라 여러번의 연속된 복원 추출 실험의 확률 분포이며, 이것을 X~B(n,p)로 나타낸다. (이항 분포는 실험횟수 n과 성공확률 p에 영향을 받는다)

예) 축구 선수가 패널티 킥에 성공할 확률이 0.8일때, 이 선수가 10번째 패널티 킥에서 7번 성공할 확률

 


  • n  : 전체 실험수 ? 10번의 패널티킥
  • x : 실패한 횟수 ? 3번 실패(7번 성공함으로)
  • P : 성공확률 ? 킥에 성공할 확률 0.8


그래프로 나타내면

 


“p가 0이나 1에 가깝지 않고 n이 충분히 크면 이항분포는 정규분포(가우스분포)에 가까워지며, p가 1/2에 가까워짐에 따라 그래프는 좌우대칭인 산 모양 곡선이 된다.

출처 : http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1135793&cid=40942&categoryId=32215


참고 (순열과 조합)

nCr (Combination: 조합)순서에 관계없이 n개중 r개를 선택하는 법. 예를 들어 1~6까지 써있는 숫자중, 2개의 서로 다른 숫자를 선택하는 경우의 수.  (1,2),(2,1)을 같은 경우로 함

nCr = nPr / r! = n!/ (r! (n-r)!)

nPr (permutation:순열) : n개중 r개를 택해서 일렬로 나열하는 방법 (경우의 수) 예를 들어 1~6까지 써있는 숫자중, 2개를 뽑았을 때 순서를 고려한 경우의 수 (1,2), (2,1)을 다르게 함

nPr = n*(n-1)*(n-2)*….*(n-r+1) = n! / (n-r)!


3. 초기하 분포 (Hypergeometric distribution)

이항 분포와 같이 결과가 성공 실패 두가지인 연속된 실험이지만, 비복원 추출에서의 확률 분포

예) S보험사 전체인원은 10명이고, 그중 여자가 6명이다. 이중 7명을 연속으로 뽑았을때, 4명이 여자일 확률

※ nCr = C(n,r)로 표기 하였음

P(x) = C(M,x)*C(N-X,n-x) / C(N,n)



그림 출처 : http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Statistics/Statistics_Distributions.html 


 

4. 기하 분포 (geometric distribution)

계속 실패하다가 성공할 확률

예를 들어 어떤 야구 선수의 홈런칠 확률이 0.05 일때 6번째 타석에서 홈런칠 확률

 


  • p :  성공할 확률
  • x -1 : 실패 횟수


즉 위의 확률은 0.05*(0.95)^5가 된다.

 


p=0.25, x=1:00에 대한 기하 분포 확률 질량 함수 그래프


5. 포아송 분포 (Poisson distribution)

이산 확률 분포로 단위시간이나 단위공간에 대해서 어떤 사건의 출현 횟수가 갖는 분포

예를 들어 식당에 한시간 평균 10명의 손님이 온다고 할때, 이렇게 단위 시간단 평균을 알고 있을때, 어떤 시간에 몇명이 올지 예측이 가능한 분포를 포아송 분포라고 한다.

예) 30분마다 지나가는 차량의 수가 평균 25대라면, 이때, 30분에 10대 이하로 차가 지나갈 확률?  Sum(p(x=1..10))

 


그림 출처 : http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Statistics/Statistics_Distributions.html



  • 람다(위에 ㅅ 어퍼놓은것) : 평균
  • x : 발생 횟수


연속 확률 분포

다음은 대표적인 연속 확률 분포이다

.

정규 분포 (normal distribution)

가장 많이 발견되는 연속 확률 분포로, 사람의 키, 연봉 등 많은 사회 및 자연 현상이 이 정규 분포를 따른다.

평균이 m이고, 표준편차가 시그마(돼지꼬리)일때, 정규분포의 밀도 함수는 다음과 같다. 

 


그래프로 표현하면

 


표준 정규 분포와 일반 정규 분포

표준 정규 분포는 정규 분포중에서 평균 = 0, 표준편차(시그마)가 1인 정규 분포

이 표준 정규 분포의 성질은 평균에서 +-1 범위내에서 모든 데이타의 70%(0.6826)가 들어감, +-2 범위내에서는 모든 데이타의 95% (상대도수 = 0.9544)이다.

데이타가 정규 분포를 따를 때, 일반 정규 분포는 (데이타의 표준편차:시그마)*(표준 정규분포의 데이타)+(데이타의 평균:뮤)를 따른다. 표준 정규분포는 분포 표가 있기 때문에, 일반 정규 분포의 표준편차와 평균을 알면 표준 정규분포표를 이용하여, 확률 변수에 대한 확률값을 구할 수 있다.


T 분포

모집단의 분산을 모를때, 모집단의 평균을 추정하는데 사용됨

정규 분포와 유사하게 종 모양을 띄는 분포로, 정규분포는 평균에서 멀어질 수 록, 확률이 급격하게 떨어진다. 그러나, 정규 분포는 표본의 데이타가 충분히 많아야 신뢰도가 올라간다는 단점이 있다.

그래서, T 분포는 정규분포보다 한 단계 넓은 예측 범위가 넓은 분포를 사용하게 된다. 

 


(원본 : http://math7.tistory.com/55)


  • T 분포 = (정규분포)*sqrt(카이제곱 분포의 자유도) / (카이제곱분포W)
  • 자유도 = 카이 제곱 분포에서 표본 크기 -1
  • ※ 자유도는 (표본의 개수인 n)-1. (자유도=n-1) 로, 표본의 크기가 커질 수록, T분포는 정규분포에 근접하게 된다. 

그러니까는 정규분포 형태의 데이타가 있을떼, 이를 좀 더 넓은 예측 범위로 변환할 때 사용이 가능하다. T 분포는 실제 확률을 구할때는 사용하지 않고 신뢰구간이나 가설 검정을 할때 사용한다.


카이 제곱 분포

직접 확률을 구할때 보다는, 신뢰구간과 가설 검정, 적합도 검정, 동질성 검정, 그리고 독립성 검정등에 많이 사용된다.

(추가 조사 필요)


F 분포

분산을 추정하고 검정할 때 사용하는 분포

(추가 조사 필요)



참고 자료 (그림과, 공식, 대부분의 내용들은 다음 글들을 참고했습니다.)

확률 분포의 개념: http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B6%84%ED%8F%AC

확률론 : http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2098124&cid=44413&categoryId=44413

확률분포 : http://math7.tistory.com/ (통계학 이론이 정말 잘 정리 되어 있습니다. 추천)

정규분포 : http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=779549&cid=42085&categoryId=42085

여러가지 분포를 R로 잘 설명해놓은 글 : http://zoonek2.free.fr/UNIX/48_R/07.html